Pembuktian Rumus Aljabar Boolean
Teorema 1 (Hukum Idempotent)
Untuk setiap unsur x berlaku x + x =
x dan x . x = x
Bukti:
• x + x = (x + x) (1) identitas
x + x = (x + x) (x + x’ ) komplemen
x + x = x + (x . x’ ) distributif
x + x = x + 0 komplemen
x + x = x identitas
• x ∙ x = (x ∙ x)+ (0) identitas
x ∙ x = (x ∙ x) + (x ∙ x’ ) komplemen
x ∙ x = x ∙ (x + x’ ) distributif
x ∙ x = x ∙ 1 komplemen
x ∙ x = x identitas
Teorema 2 (Hukum Dominansi)
Untuk setiap unsur x berlaku x + 1 = 1 dan x . 0 = 0
Bukti:
• x + 1 = x + (x + x’ ) komplemen
x + 1 = (x + x) + x’ asosiatif
x + 1 = x + x’ identitas
x + 1 = 1 komplemen
• x ∙ 0 = x ∙ (x ∙ x’ ) komplemen
x ∙ 0 = (x ∙ x) ∙ x’ asosiatif
x ∙ 0 = x ∙ x’ identitas
x ∙ 0 = 0 komplemen
Teorema 3 (Hukum Penyerapan)
Untuk setiap unsur x dan y berlaku x + x.y = x dan x . (x + y) = x
Bukti:
• x + x ∙y = x + 0 komplemen
x + x ∙y = x identitas
• x ∙(x+y) = x ∙ 1 komplemen
x ∙(x+y) = x identitas
Teorema 4 (Hukum De Morgan)
Untuk setiap unsur x dan y berlaku
(x . y)’ = x’ + y’ dan (x + y)’ = x’ . y’
Bukti:
(x . y)’ = x’ + y’
Diketahui: (x.y)(x.y)’ = 0 komplemen
Perlihatkan: (x.y)(x’ + y’) = 0
Bukti:
• (x.y)(x’ + y’) = x.y.x’ + x.y.y’ distributif
(x.y)(x’ + y’) = x.x’.y + x.y.y’ komutatif
(x.y)(x’ + y’) = 0.y + x.0 komplemen
(x.y)(x’ + y’) = 0 + 0 dominansi
(x.y)(x’ + y’) = 0 identitas
Jadi, (x . y)’ = x’ + y’ .
(x + y)’ = x’ ∙ y’
Diketahui: (x+y)(x+y)’ = 0 komplemen
Perlihatkan: (x+y) ∙ (x’ ∙ y’) = 0
Bukti:
• (x+y)(x’ ∙ y’) = x∙x’∙y’ + y∙x’∙y’ distributif
(x+y)(x’ ∙ y’) = x∙x’∙y’ + y∙x’∙y’ komutatif
(x+y)(x’ ∙ y’) = 0.y + x’.0 komplemen
(x+y)(x’ ∙ y’) = 0 + 0 dominansi
(x+y)(x’ ∙ y’) = 0 identitas
Jadi, (x + y)’ = x’ ∙ y’
Teorema 5 (Hukum 0/1)
0’ = 1 dan 1’ = 0
Bukti:
• 0’ = (x ∙ y)’ komplemen
0’ = x’ + y’ teorema 4
0’ = y + x invers
0’ = x + y komutatif
0’ = 1 komplemen
• 1’ = (x + y)’ komplemen
1’ = x’ ∙ y’ teorema 4
1’ = y ∙ x invers
1’ = x ∙ y komutatif
1’ = 0 komplemen
Contoh Soal
1. X + X’ .Y = ?
2. X .(X’+Y) = ?
3. X.Y+ X’.Z+Y.Z = ?
Jawab
1. X + X’ .Y = (X + X’).(X +Y)
X + X’ .Y = X+Y
2. X .(X’+Y) = X.X’ + X.Y
X .(X’+Y) = X.Y
3. X.Y+ X’.Z+Y.Z = X.Y + X’.Z + Y.Z. (X+X)’
X.Y+ X’.Z+Y.Z = X.Y + X’.Z + X.Y.Z + X’.Y.Z
X.Y+ X’.Z+Y.Z = X.Y.(1+Z) + X’.Z.(1+Y)
X.Y+ X’.Z+Y.Z = X.Y + X’.Z