Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama
Rumus Umum
Jika ada n unsur dan beberapa unsur identik dengan banyak masing-masing n₁, n₂, ..., nk, maka jumlah permutasi berbeda:
\( P = \dfrac{n!}{n_1! \times n_2! \times \ldots \times n_k!} \)
Contoh Soal dan Pembahasan
1️⃣ Berapa banyak susunan huruf yang berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata "MAMA"?
Diketahui: kata MAMA memiliki 4 huruf dengan pengulangan M=2 dan A=2.
Penyelesaian:
\[ P = \dfrac{4!}{2! \times 2!} = \dfrac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \dfrac{24}{4} = 6 \]
Jadi, ada 6 susunan berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf kata MAMA.
2️⃣ Berapa banyak susunan huruf yang berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata "BERSERAGAM" jika huruf pertama harus R dan huruf terakhir harus A?
Diketahui: kata BERSERAGAM memiliki 10 huruf dengan pengulangan: E=2, R=2, A=2, dan huruf lain B,S,G,M masing-masing 1.
Penyelesaian:
Karena syarat huruf pertama harus R dan huruf terakhir harus A, kita letakkan satu R di posisi pertama dan satu A di posisi terakhir. Setelah itu, sisa huruf yang belum ditempatkan berjumlah 8 huruf, yaitu: B(1), E(2), R(1), S(1), A(1), G(1), M(1).
Maka banyak susunan berbeda untuk posisi tengah adalah permutasi multiset dari 8 unsur dengan pengulangan E sebanyak 2 kali:
\[ P = \dfrac{8!}{2!} = \dfrac{40320}{2} = 20160 \]
Jadi, ada 20.160 susunan berbeda yang memenuhi syarat.