Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring Lingkaran
Artikel pembelajaran kontekstual untuk Matematika Fase F – Geometri.
Mengapa Penting?
Lingkaran mudah dijumpai: jam dinding, roda sepeda, piring, hingga tutup panci. Di balik bentuk sederhana ini, ada konsep penting: sudut pusat, panjang busur, dan luas juring. Saat jarum jam bergerak dari pukul 12 ke 3, ia membentuk sudut pusat 90°. Sudut ini bisa dipakai untuk menghitung panjang lengkungan tepi (busur) dan luas potongan “seperti pizza” (juring) pada lingkaran.
Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring
Hubungan utamanya berbasis proporsi terhadap lingkaran penuh 360° (atau 2π radian):
- Panjang Busur: (θ / 360°) × 2πr
- Luas Juring: (θ / 360°) × πr²
Semakin besar sudut pusat (θ), semakin panjang busurnya dan semakin luas juringnya. Ini juga berlaku jika θ dinyatakan dalam radian: Panjang Busur = θ × r dan Luas Juring = ½ × θ × r².
Aktivitas Belajar Sederhana
Latihan berikut memanfaatkan benda sekitar agar konsep terasa nyata dan mudah dipahami.
- Siapkan benda berbentuk lingkaran (piring/gelas/tutup panci), jangka, busur derajat, penggaris, dan meteran jahit.
- Ukur diameternya untuk memperoleh r (jari-jari = ½ × diameter).
- Buat juring dengan beberapa sudut (mis. 30°, 60°, 90°).
- Hitung panjang busur dan luas juring menggunakan rumus.
- Ukur panjang busur secara langsung dengan meteran jahit, lalu bandingkan hasilnya dengan perhitungan.
| Benda | Diameter | Jari-jari (r) | Sudut (θ) | Luas Juring (hitung) | Panjang Busur (hitung) | Panjang Busur (ukur) | Selisih |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Piring | — | — | 90° | — | — | — | — |
| Gelas | — | — | 60° | — | — | — | — |
Isilah dengan data pengukuran Anda.
Contoh Soal & Pembahasan Singkat
Soal. Diketahui bandul dengan panjang tali r = 21 cm digerakkan dari titik P ke R sehingga ∠POR = 90°. Tentukan:
- Panjang tali busur PR (chord PR)
- Panjang busur PR
- Luas juring POR
Pembahasan
1) Panjang tali busur PR
Untuk sudut pusat 90°, chord = √2 · r = √2 × 21 ≈ 29,7 cm.
2) Panjang busur PR
(θ/360°) × 2πr = (90/360) × 2π × 21 = ½ × π × 21 = 10,5π ≈ 32,99 cm.
3) Luas juring POR
(θ/360°) × πr² = (90/360) × π × 21² = ¼ × π × 441 = 110,25π ≈ 346,36 cm².
Catatan: gunakan π ≈ 3,14159 untuk pembulatan.
Tips Pembelajaran
- Mulai dari benda nyata agar siswa merasakan konteks sebelum ke rumus.
- Bandingkan hasil perhitungan vs pengukuran untuk memantik diskusi penyebab selisih (alat ukur, ketelitian, pembulatan).
- Gunakan variasi sudut (30°, 45°, 60°, 90°, 180°) untuk menekankan proporsionalitas.
Kesimpulan
Konsep sudut pusat, panjang busur, dan luas juring saling terkait melalui proporsi terhadap 360° (atau 2π radian). Dengan pendekatan kontekstual menggunakan benda sehari-hari, pembelajar tidak hanya menghafal rumus, tetapi juga memahami makna dan penerapannya dalam kehidupan nyata.
